微分方程式の問題。次の微分方程式f''(x)+2f'(x)-3f(x)=0
の解で、f(0)=0, f'(0)=4を満たす関数f(x)を求めよ。
これを考えていきます。と言ってもこれは簡単で、微分演算子Dを用いて与式をD^2+2D-3=(D+3)(D-1)
と書き換えることができる。Dは-3と1になるので、f(x)=C_1*e^(-3x)+C_2*e^x
となる。更にこれを微分すると、f'(x)=-3C_1*e^(-3x)+C_2*e^x
となる。これらに対し、最初に与えられた解を代入すると、
という連立方程式を得る。これを解くとC_1=-1,C_2=1
となり、f(x)=-e^(-3x)+e^x
という解が求まって終了。