微分方程式の問題。次の微分方程式f''(x)+2f'(x)-3f(x)=0
の解で、f(0)=0, f'(0)=4を満たす関数f(x)を求めよ。
これを考えていきます。と言ってもこれは簡単で、微分演算子Dを用いて与式をD^2+2D-3=(D+3)(D-1)
と書き換えることができる。Dは-3と1になるので、f(x)=C_1*e^(-3x)+C_2*e^x
となる。更にこれを微分すると、f'(x)=-3C_1*e^(-3x)+C_2*e^x
となる。これらに対し、最初に与えられた解を代入すると、
という連立方程式を得る。これを解くとC_1=-1,C_2=1
となり、f(x)=-e^(-3x)+e^x
という解が求まって終了。

極限値を求める問題。lim[x→0]{(1-cosx)/x^2}
これをなるべく優しく丁寧に考えてみようと思います。
問題となっている式に三角関数が現れた場合、以下の基本式を使う可能性が高いので、この形に変形していく方向で考える。lim[θ→0]{sinθ/θ}=1
これを踏まえて、今回考えた解法は２つ。

［解１］
ひとまず、上記の基本式を使うためにはcosをsinに変形する必要があります。そこで、2倍角の公式を使用します。2倍角の公式とは、cos2θ=1-2(sinθ)^2
です。cos2θからの変換式はWikiページを参考にするとしてここでは割愛。
cosxはcosx=cos{2(x/2)}
と変形できるため、2倍角の公式を当てはめると、cosx=1-2{sin(x/2)}^2
となる。これを与式に当てはめて計算すると、
となり、上記の基本式を当てはめることができる形にすることができました。よって、
という風に解が求まって終了。lim[x→0]{(1-cosx)/x^2}=1/2

［解２］
ばっさり言うと、ロピタルの定理（Wikiページ）を利用します。ロピタルの定理についてはWikiページ等をざっと見てみてください。
まず、定理が使えるかの確認作業ですが、 となり、ひとまず使えそうな雰囲気。与式の分母分子を微分した極限を求めると、
てな感じで上記の基本式を当てはめられる形になったので、この解を求めると、
となり、極限が存在していることが分かります。よって、
という風に解が求まって終了。lim[x→0]{(1-cosx)/x^2}=1/2